双曲线

双曲线的参数方程：

①x=a·sec θ (正割) y=b·tan θ ( a为实半轴长， b为虚半轴长，θ为参数。焦点在X轴上）

②x=a(t+1/t)/2, y=b(t-1/t)/2 (t为参数）（a为半实轴长，b为半短轴长，焦点在X轴上）

若 ∠F1PF2=θ，

则 S△F1PF2=b2×cot（θ/2）或S△F1PF2=b2/tan（θ/2）

·例：已知F1、F2为双曲线C：x2-y2=1的左右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则P到x轴的距离为多

少？

解：由双曲线焦点三角形面积公式

得S△F1PF2=b2×cot（θ/2）=√3

设P到x轴的距离为h，则 S△F1PF2?=1/2×h×2√2; h=√6/2

把平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于一个常数(常数为2a)的轨迹称为双曲线。（平面内到两定点的距离差的绝对值为定长的点的轨迹叫做双曲线）

即：│PF1-PF2│=2a

定义1：

双曲线平面内，到两个定点的距离之差的绝对值为常数（小于这两个定点间的距离）的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点。

定义2：平面内，到给定一点及一直线的距离之比为常数e（e>1，即为双曲线的离心率）的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线。双曲线准线的方程为x=±a?/c（焦点在x轴上）或y=±a?/c（焦点在y轴上）。

定义3：一平面截一圆锥面，当截面与圆锥面的母线不平行，且与圆锥面的两个圆锥都相交时，交线称为双曲线。

定义4：在平面直角坐标系中，二元二次方程F(x,y)=ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0满足以下条件时，其图像为双曲线。

1.a、b、c不都是零.

2.b2?- 4ac > 0.

注：第2条可以推出第1条。

在高中的解析几何中，学到的是双曲线的中心在原点，图像关于x，y轴对称的情形。这时双曲线的方程退化为：x2/a2?- y2/b2?=1.

上述的四个定义是等价的，并且根据建好的前后位置判断图像关于x，y轴对称。

标准方程为：

1、焦点在X轴上时为：

x2/a2?- y2/b2?=1?（a>0，b>0）

2、焦点在Y 轴上时为：

y2/a2?- x2/b2?=1?（a>0，b>0）

以下从纯几何的角度给出一些双曲线的相关概念和性质。

双曲线有两个分支。

在定义1中提到的两给定点称为该双曲线的焦点，定义2中提到的一给定点也是双曲线的焦点。双曲线有两个焦点。

在定义2中提到的给定直线称为该双曲线的准线

在定义2中提到的到给定点与给定直线的距离之比，称为该双曲线的离心率。

双曲线离心率e=c/a

双曲线有两个焦点，两条准线。（注意：尽管定义2中只提到了一个焦点和一条准线。但是给定同侧的一个焦点，一条准线以及离心率可以根据定义2同时得到双曲线的两支，而两侧的焦点，准线和相同离心率得到的双曲线是相同的。）

双曲线与两焦点连线的交点，称为双曲线的顶点。

两顶点之间的距离称为双曲线的实轴。实轴长的一半称为实半轴。

双曲线有两条渐近线。

渐近线的方程求法是：将右边的常数设为0，即可用解二元二次的方法求出渐近线的解，例如：X2/2-Y2/4=1，令1=0，则X2/2=Y2/4，则双曲线的渐近线为Y=±(√2)X

一般地我们把直线Y=±(bX/a）叫做双曲线的渐进线（asymptote to the hyperbola ）（焦点在X轴上）

双曲线x2/a2 - y2/b2=1上一点与两顶点连线的斜率之积为b/a。

通风塔，冷却塔，埃菲尔铁塔，广州塔“小蛮腰”等

│x│≥a（焦点在x轴上）或者│y│≥a（焦点在y轴上）。

关于坐标轴和原点对称。

A(-a,0) ， A'(a,0）。同时 AA'叫做双曲线的实轴且│AA'│=2a.

B(0,-b）?， B'(0,b）。同时 BB'叫做双曲线的虚轴且│BB'│=2b.

F1（-c,0) , F2（c,0）。F1为双曲线的左焦点，F2为双曲线的右焦点且│F1F2│=2c

对实轴、虚轴、焦点有：a2+b2=c2

焦点在x轴：y=±（b/a)x.

焦点在y轴：y=±（a/b)x. 圆锥曲线ρ=ε/1-ecosθ当e>1时，表示双曲线。其中p为焦点到准线距离，θ为弦与x轴夹角。

令1-ecosθ=0可以求出θ，这个就是渐近线的倾角，即θ=arccos（1/e)

令θ=0，得出ρ=ε/（1-e）,x=ρcosθ=ε/（1-e）

令θ=π，得出ρ=ε/（1+e）,x=ρcosθ=-ε/（1+e）

双曲线

这两个x是双曲线定点的横坐标。

求出它们的中点的横坐标（双曲线中心横坐标）

x=[(ε/1-e)+(-ε/1+e)]/2

（注意化简一下）

直线ρcosθ=[(ε/1-e)+(-ε/1+e)]/2

是双曲线一条对称轴，注意是不与曲线相交的对称轴。

将这条直线顺时针旋转π/2-arccos（1/e）角度后就得到渐近线方程，设旋转后的角度是θ’

则θ’=θ-[π/2-arccos（1/e)]

则θ=θ’+[π/2-arccos（1/e)]

代入上式：

ρcos{θ’+[π/2-arccos（1/e)]}=[(ε/1-e)+(-ε/1+e)]/2

即：ρsin[arccos（1/e)-θ’]=[(ε/1-e)+(-ε/1+e)]/2

现在可以用θ取代式中的θ’了

得到方程：ρsin[arccos（1/e)-θ]=[(ε/1-e)+(-ε/1+e)]/2

现证明双曲线x2/a2-y2/b2=1 上的点在渐近线中

设M(x,y）是双曲线在第一象限的点，则

y=(b/a）√（x2-a2）?(x>a)

因为x2-a2

即 y

所以，双曲线在第一象限内的点都在直线y=bx/a下方

根据对称性第二、三、四象限亦如此

第一定义：e=c/a 且e∈（1，+∞）.

第二定义：双曲线上的一点P到定点F的距离│PF│ 与 点P到定直线（相应准线）的距离d 的比等于双曲线的离心率e.

d点│PF│/d线（点P到定直线（相应准线）的距离）=e

（圆锥曲线上任意一点P(x,y）到焦点距离）

左焦半径：r=│ex+a│

右焦半径：r=│ex-a│

一双曲线的实轴与虚轴长相等 即：2a=2b 且 e=√2

这时渐近线方程为：y=±x（无论焦点在x轴还是y轴）

双曲线S'的实轴是双曲线S的虚轴 且 双曲线S'的虚轴是双曲线S的实轴时，称双曲线S'与双曲线S为共轭双曲线。

几何表达：S：（x2/a2）-(y2/b2）=1 S'：（y2/b2）-(x2/a2）=1

特点：（1）共渐近线；与渐近线平行得线和双曲线有且只有一个交点

（2）焦距相等

（3）两双曲线的离心率平方后的倒数相加等于1

焦点在x轴上：x=±a2/c

焦点在y轴上：y=±a2/c

1、通径长

（圆锥曲线中，过焦点并垂直于轴的弦）

d=2b2/a

2、过焦点的弦长公式：

d=2pe/（1-e2cos2θ）

3、弦长公式

d=√（1+k2）|x1-x2|

=√[（1+k2）(x1-x2）2]

=√（1+1/k2）|y1-y2|

=√[（1+1/k2）(y1-y2）2?]

推导如下：

由 直线的斜率公式：k=(y1?- y2）?/ (x1?- x2）

得 y1?- y2?=k(x1?- x2）?或 x1?- x2?=(y1?- y2）/k

分别代入两点间的距离公式：|AB|=√[（x1?- x2）2; +?（y1?- y2）2; ]

稍加整理即得：

|AB|=|x1?- x2|√（1 + k2;) 或 |AB|=|y1?- y2|√（1 + 1/k2;)

·4、双曲线的标准公式与反比例函数

X2/a2?- Y2/b2?=1(a>0,b>0)

而反比例函数的标准型是 xy=c (c ≠ 0)

但是反比例函数图象确实是双曲线轨迹经过旋转得到的

因为 xy=c的对称轴是 y=x, y=-x 而X2/a2?- Y2/b2?=1的对称轴是x轴，y轴

所以应该旋转45°

设旋转的角度为 a（a≠0，顺时针）

（a为双曲线渐进线的倾斜角）

则有

X=xcosa + ysina

Y=- xsina + ycosa

取 a=π/4

则

X2?- Y2?=(xcos（π/4）?+ ysin（π/4）)2?-(xsin（π/4）?- ycos（π/4）)2

=?（√2/2 x + √2/2 y)2?-（√2/2 x - √2/2 y)2

=4?（√2/2 x)?（√2/2 y)

=2xy.

而xy=c

所以

X2/（2c) - Y2/（2c)=1 (c>0)

Y2/(-2c) - X2/(-2c)=1 (c<0)

由此证得，反比例函数其实就是双曲线的一种形式，.只不过是双曲线在平面直角坐标系内的另一种摆放形式。

双曲线内、上、外：

在双曲线的两侧的区域称为双曲线内，则有x2/a2-y2/b2>1；

在双曲线的线上称为双曲线上，则有x2/a2-y2/b2=1；

在双曲线所夹的区域称为双曲线外，则有x2/a2-y2/b2<1。

从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上。

双曲线这种反向虚聚焦性质，在天文望远镜的设计等方面，也能找到实际应用。